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Relaciones Trigonométricas

Angulo en posicion estandar

funciones trigonometricas

1 de abril

Ley de Enfriamiento de Newton

Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

Alargamiento de expresiones logaritmicas

Leyes de logaritos

"Sea un numero positivo con a no igual a 1. Sean A, B y C números reales cualesquiera con A mayor a 0 y B mayor a 0:

1- 

El logaritmo de un producto de números multiplicados es la suma de los logaritmos de los números. 

Ejemplo:

2-

El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. 

Ejemplo:

3-

El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el logaritmo de numero. 

Ejemplo:

Logaritmo Natural

Evaluar funcion con logaritmos

Familia de funciones logaritmicas

Funciones Logaritmicas

Modelo de Crecimiento

Formula Básica: N(t)=Aoe^kt

N(t): Cantidad luego de t tiempo

Ao: Cantidad inicial (como en Vo velocidad inicial)

K: Constante de crecimiento

t: Tiempo

Ejemplo 1:

La cantidad inicial de baterías en un cultivo es de 500 bacterias. Posteriormente un biólogo hace un conteo de muestra y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es 40% por hora. Encuentre la cantidad de bacterias a las 5, 10 y 20 horas.

N(5)=500^(.40x5)

~3,695 bacterias

N(10)=500^(.40x10)

~ 27,299 bacterias

N(20)=500^(.40x20)

~ 1, 490,479 bacterias

Ejemplo 2:

La población de ratas en la ciudad de Nueva York en el año de 1990 era de 54 millones y una tasa relativa del 12% por año.

1.       ¿Cuál es la función que define el crecimiento poblacional de ratas?

2.       ¿Cuál es la población de ratas para el año 1995, 2000 y el 2005?

3.       ¿De mantenerse esta tendencia cual es la población esperada para el año 2025?

N(t)=54e^(0.12)t

N(5)=54e^(0.12x5)

~ 98 millones

N(10)=54e^(0.12x10)

~ 179 millones

N(15)=54e^(0.12x15)

~ 327 millones

N(35)=54e^(0.12x35)

~ 3,601 millones

Funcion exponencial natural

Funciones Exponenciales y logarismicas

Este es el primer tema del proximo examen de Preclculos. Estaremos discutiendo las caracteristicas principales de las funciones exponenciales osea que el numero estara elevado a un esponente no a un numero.

Ceros Complejos de Funciones Polinomicas

 Un numero complejo r es un cero de una función f si f(r) = 0

Veamos dos teoremas:
1- Teorema fundamental del álgebra
   Toda función polinómica f(x) de grado n  > 1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.

2- Teorema de factorización. 
   Toda funcion polinomica compleja f(x) de grado n > 1 se puede factorizar en n factores lineales de la forma: (los factores no necesariamente son distintos)  

donde 

son números complejos y 

son los ceros de f(x)

Veamos:

Regla de Descartes

Cuando vemos la función principal y si empieza en positivo (como este caso) y cuantas cuantas veces 
cambia de signo y ese va a ser el numero de negativos
Esta ves fueron 3 positivos porque cambia de + a - a + se queda en + y cambia a - asi que cambia 3 veces
Una vez saques el número de positivos cambias todas las X de la función por negativas
Verificas cuantas veces cambia de signo la nueva función y sacamos la cantidad de negativos
en este caso solo cambia 1 vez de signo así que tenemos 1 negativo
Después vamos a dividir los factores del ultimo número entre los factores del primer numero
Luego divides cada uno individual 1/1 1/2 2/1 2/2 4/1 4/2
al dividirlo algunos números van a dar igual asi que se escriben una sola vez
El resultado son los posibles ceros de la función

Luego utilizamos el El teorema de las ceros y la división sintética

Para hacer la forma factorizada completamente debemos igualar a cero por lo tanto los negativo
quedan positivos y viceversa. Cuando tenemos un número que se repite se le pone a la dos para hacerlo mas corto o mas factorizado. 

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División sintética

La división sintética es un procedimiento que facilita la factorización de las funciones. Esta divide un polinomio entre un binomio con forma: x-c, en donde c es una constante.
Veamos un ejemplo: 

 1 - Pasar el primer coeficiente hacia abajo.
 2 - Multiplicar la constante por el coeficiente.
 3 - Pasar el resultado debajo del próximo coeficiente. 

Ahora los coeficientes resultantes forman una función mas simplificada que tendrá un valor exponencial menos al de la primera.

Veamos entonces el teorema del residuo:

-Si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c entonces el residuo es f(c)

funciones polinomiales