Ceros Complejos de Funciones Polinomicas

 Un numero complejo r es un cero de una función f si f(r) = 0

Veamos dos teoremas:
1- Teorema fundamental del álgebra
   Toda función polinómica f(x) de grado n  > 1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.

2- Teorema de factorización. 
   Toda funcion polinomica compleja f(x) de grado n > 1 se puede factorizar en n factores lineales de la forma: (los factores no necesariamente son distintos)  

donde 

son números complejos y 

son los ceros de f(x)

Veamos:

Regla de Descartes

Cuando vemos la función principal y si empieza en positivo (como este caso) y cuantas cuantas veces 
cambia de signo y ese va a ser el numero de negativos
Esta ves fueron 3 positivos porque cambia de + a - a + se queda en + y cambia a - asi que cambia 3 veces
Una vez saques el número de positivos cambias todas las X de la función por negativas
Verificas cuantas veces cambia de signo la nueva función y sacamos la cantidad de negativos
en este caso solo cambia 1 vez de signo así que tenemos 1 negativo
Después vamos a dividir los factores del ultimo número entre los factores del primer numero
Luego divides cada uno individual 1/1 1/2 2/1 2/2 4/1 4/2
al dividirlo algunos números van a dar igual asi que se escriben una sola vez
El resultado son los posibles ceros de la función

Luego utilizamos el El teorema de las ceros y la división sintética

Para hacer la forma factorizada completamente debemos igualar a cero por lo tanto los negativo
quedan positivos y viceversa. Cuando tenemos un número que se repite se le pone a la dos para hacerlo mas corto o mas factorizado. 

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División sintética

La división sintética es un procedimiento que facilita la factorización de las funciones. Esta divide un polinomio entre un binomio con forma: x-c, en donde c es una constante.
Veamos un ejemplo: 

 1 - Pasar el primer coeficiente hacia abajo.
 2 - Multiplicar la constante por el coeficiente.
 3 - Pasar el resultado debajo del próximo coeficiente. 

Ahora los coeficientes resultantes forman una función mas simplificada que tendrá un valor exponencial menos al de la primera.

Veamos entonces el teorema del residuo:

-Si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c entonces el residuo es f(c)

funciones polinomiales