exponentes racionales

Ecuaciones con Radicales

En este video se muestra una ecuacion sencilla y una compleja tales como las que discutimos en el salon de clases

       Este video lo consegui en youtube es el mejor que explica la clase de hoy la cual fue de las ecuaciones con radicales. basicamente lo que explica es que debemos cuadrar los radicales para eliminar su raiz cuadrada. En clase aprendimos a hacer todo por el triangulo de pascal desde el principio, este video nos muestra otra tecnica. Podemos pasar uno de los radicales dejandolo asi (radical = radical) luego cuadrarlo y despues resolver por el triangulo de pascal. Devo mencionar, ademas, que este profesor utiliza la misma formula del triangulo de pascal pero con otra ubicacion, esto no se afecta ya que el resultado es el mismo.
       Dado a que el profesor es Espanol, podemos notar que menciona mucho la "i" pero se refiere en realidad al radical. tambien vimos que escribe uan i cursiva, esta es su forma de escribir el 1.

Ecuaciones lineales

Ecuaciones Con Una Sola Variable

Ecuación Lineal:

(8x – 2)(3x + 4) = (4x + 3)(6x – 1) à para poder resolverlo debes resolver
                                                       por propiedad  distributiva en ambos
                                                       lados.
24x² + 32x – 6x – 8 = 24x² – 4x + 18x - 3 à una vez ya multiplicados debes
                                                                        resolver los  términos
                                                                             semejantes.
26x – 8 = 14x – 3 à En el paso anterior tachamos los 24x² porque si se
                                 pasan de un lado al otro se van a eliminar.
                                 Sumamos  los términos semejantes de ambos lados.
                                Ahora tenemos que agrupar cada término en lados
                                 opuestos.
26x – 14x = 8 – 3 à una vez lo hemos dividido, lo restamos o sumamos;
                                en este caso restamos
12x = 5 à por ultimo dividimos…

X = 5/12 à así se queda porque no simplifica nada más.

Blaise Pascal

(Biografía)

Nacido el 19 de junio de 1623 en Clermond-Ferrand.

Fallecido el 19 de agosto de 1662 en París, Francia.

Étienne, el padre de Blaise, tenía ideas poco ortodoxas de la educación, por lo que decidió educar a su hijo él mismo. Decidió que Pascal no estudiara matemáticas antes de los quince años, y que todos los textos de matemáticas fueron sacados de la casa. Sin embargo, Pascal, con la curiosidad enardecida por esto, comenzó a investigar la geometría por sí mismo a los doce años. Descubrió que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Cuando su padre descubrió eso, le permitió leer a Euclides.

A los catorce años, Pascal comenzó a asistir a las reuniones de Mersenne. Mersenne pertenecía a la orden religiosa de los Mínimos, y su celda en París era lugar de encuentro frecuente para Fermat, Pascal, Gassendi y otros. A la edad de 16 años, Pascal presenta una hoja de papel en una de las reuniones de Mersenne. Contenía una seria de teoremas de geometría descriptiva, incluyendo el hexágono místico de Pascal.

Pascal inventó la primera calculadora digital en 1642 para ayudar a su padre. El aparato, llamado Pascalina, parecía una calculadora mecánica de los años 1940.

Estudios posteriores en geometría, hidrodinámica e hidrostática, y la presión atmosférica le llevaron a inventar la jeringa y la prensa hidráulica, y a descubrir la ley de la presión de Pascal.

Estudió las secciones cónicas y produjo importantes teoremas en la geometría descriptiva. En colaboración con fermat, fundaron las bases de la teoría de la probabilidad.

Su obra filosófica más famosa es "Pensées", una colección de pensamientos personales sobre el sufrimiento humano y la fe en Dios. La "apuesta de Pascal", asegura que la creencia en Dios es racional con el siguiente argumento:

"Si Dios no existe, nada pierde uno en creer en Él, mientras que si existe, lo perderá todo por no creer."

Su último trabajo fue sobre el cicloide, la curva trazada por un punto en la circunferencia de un círculo rodando.

Pascal murió a los 39 años con intenso dolor, de un tumor maligno en el estómago, que se propagó al cerebro.

Continuación de Números Complejos.

División:

    

Ahora para poder entender…

Ejemplos:

1

Sencillo ¿no?

¡Próximo!

2

Números Complejos:

~Los números complejos, es decir la suma de un número real con un número imaginario, son aquellos que tienen la forma:

Parte real → a + bi  ← Parte imaginaria

a-       Suma y resta

         Para entender como se realiza la suma y resta de números complejos vamos a mirar un “modelo” del proceso.

   (a + bi) + (c +di) ← {para poder trabajar con el ejercicio primero 

                                        debemos de poner los números reales con los números      

                                         reales y los números imaginarios con los imaginaros.}

=(a + c) + (bi + di) ←{ ahora saca el numero imaginario “i” como si fuera

                                             un denominador común y puedes sumar los números            

                                                reales “b” y “d”}

=(a + c) + (b + d)i  ←{ ese es su resultado}

      ~Veamos unos ejemplos para comprender el proceso mejor.

1)      (2 + 3i) + (5 + 7i)

= (2 + 5) + (3i + 7i)

= 7 + 10i

2)       (-8 – 5i) – (-3 + 2i)

 = (-8 + 3) + (-5i – 2i)  ← { acuerda siempre convertir los signos del    

                                                  segundo paréntesis de acuerdo al signo  

                                                  que se encuentra antes; es como si  

                                                multiplicaras por un “+1” o un “-1”, en esta

                                                                     ocasión es negativo}

 = -5 – 7i 

b-                   Multiplicación     *complicando las cosas*

               Vamos a ver en un modelo como se multiplican los números complejos:

  (a + bi)(c +di)               ←{comenzamos utilizando la propiedad      

                                                            de distribución}

= ac + adi + cbi + bdi²   ←{ ahora simplificamos el numero      

                                                            imaginario “i” elevado a la segunda    

                                                                                               potencia}

= ac + adi + cbi + bd (-1)

= ac + adi + cbi  - bd     ←{ une los números reales con los reales y    

                                                                   los números imaginarios con los

                                                                             imaginarios; resuelve}

= (ac – bd) + (adi + cbi)  ←{ese es su resultado}

        ~¡Que lleguen los ejemplos!

1)      (3 + 2i) (5 + 3i)

= 15 + 9i + 10i + 6i²

= 15 + 19i – 6

= 9 + 19i

2)       (4 – 5i)²                  *también puedes resolver este    

= (4 – 5i) (4 – 5i)       ejercicio con el triangulo de pascal,  

= 16 – 20i – 20i + 25i²   pero es a su propia discreción*

= 16 – 40i – 25

= -9 – 40i

                                          Sistema Numérico

         En la clase de hoy discutimos varios aspectos del sistema numérico como base de la matemática. Comenzamos definiendo los grupos de números (Reales e Imaginarios). A modo de repaso se discutió las clasificaciones de los números reales, estos son: los números naturales, números cardinales, números enteros, números racionales y números irracionales.

Al terminar con esto comenzamos a Hablar sobre los números imaginarios. En este tema estuvimos más tiempo ya que el único conocimiento previo que teníamos era el de ponerle una “i” a aquellas ecuaciones que nos daban a negativo dentro de una raíz cuadrada. No estábamos mal al hacer eso pero no se trata de poner la “i” y dejarlo así, se trata de ponerla y terminar el ejercicio sin decir “sin solución”. Hay una fórmula para saber a que daría un número imaginario elevado a x exponente. El método es el siguiente. 

                                                         i⁰ =  1

                                      i¹ = i

                                                       i² = -1

                                       i³ = -i

Y así sucesivamente. Cada vez que haya un número par, la contestación va a ser  1 o -1 y cada vez que sea impar será i o –i.

Al momento de resolver las ecuaciones, utilizando la formula de arriba, con números grandes podemos dividir el numero por alguno de los anteriores y ponerlo fuera de un paréntesis () donde estará ubicado el valor de i.

Ejemplo:

             1)      I¹⁵⁹  à i¹⁵⁹ =( i¹⁵⁸ )(i ) à (i²)⁷⁹(i ) à(-1)⁷⁹(i ) à(-1)(i ) à -i

         Como podemos observar el exponente 159 es grande e impar, así que, dividimos i¹⁵⁹ entre lo que seria i¹⁵⁸ por i para que uno de ellos sea divisible por dos. En el próximo paso (paso 3) lo que hicimos es dividir el 158, que está en exponente, entre dos para tener un numero más pequeño. En el paso 4 solo sustituimos el i² que esta dentro del paréntesis por un -1 ya que la formulita nos dice que i² = -1. La multiplicar (-1) (i ) nos da a como resultado –i.

            2)    I^-15 à (1/i¹⁵)(i/i) ài/i¹⁶ à i/1 à i

        En este ejemplo fue un poco diferente ya que el exponente es negativo. En el paso dos encontramos dos situaciones: la primera es que se coloca el reciproco de la ecuación para que exponente quede positivo y la segunda es que i = a la raíz cuadrada de un numero negativo así que no puede estar una i como denominador. Para eliminarla como denominador se multiplica arriba y abajo por la i. en el 3^er paso vemos que quedo entonces i arriba e i¹⁶ abajo. En el paso numero 4 observamos que cambiamos el i¹⁶ por un 1 ya que es un número par que dividido por dos seguiría siendo par (16/2 = 8). El resultado de la división  es igual a i porque todo número dividido por 1 da al mismo número.