Composición de funciones

Dada dos funciones f y g, la función compuesta

(f o g), denominada también la composición de f  y g, está determinada por: 

 

En otras palabras el valor de x  en la función f  es sustituido por la función g.

Veamos ejemplos: 

1- Si tenemos dadas las siguientes funciones:

 entonces,

 a-

 

b-

c-

 Si miras bien, parece como si siguieras un patrón. Ahora veamos un ejemplo de como resolverlo.

Dado: 

entonces,

Funciones crecientes, Decrecientes y Constantes

      En la clase estuvimos hablando de las diferencias entre las funciones crecientes, decrecientes y constantes.

     Las funciones crecientes son aquellas que tienen un cambio positivo (en ascenso) desde el punto de partida hasta un punto más lejano. Ósea, cada vez más cerca o sobrepasando los positivos en Y.

En este ejemplo podemos ver que la función comienza en (-4,1) y nuestro próximo punto es (6,4)y luego se extiende al infinito.

Las funciones decrecientes son aquellas que tienen un cambio negativo (descenso) Desde el punto de partida hasta otro más lejano. Ósea, cada vez más cerca o sobrepasando los negativos en Y.

En este ejemplo, vemos que nuestra grafica comienza en (-4,-1) y su siguiente punto es (6,-4) y se extiende al infinito.

Las funciones constantes no tienen cambios, es decir, mantienen una línea horizontal recta sin ascensos ni descensos.

En este ejemplo, vemos que nuestra función tiene graficado el punto (-4,4) y se extiende neutralmente hasta (6,4) y al infinito.

Gráfica de funciones definidas por partes

La función definida por partes es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. En el caso de esta función la relación entre f  y x  es dada por varios subdominios. Los subdominios son conjuntos que no están definidos por el mismo dominio.


Esta es una función definida por partes:

Veamos paso a paso como se representa gráficamente con otro ejemplo:

Paso #1:

Establezcamos que (-2; x < -2) y ( 2 ; x > 2) son ambos funciones constantes, y ( x ; -2 ≤ x ≤ 2) es una función de identidad.

Paso #2:

Evaluemos las restricciones del dominio de cada función y, en el caso de la función de identidad pongamos valores.

a- En el caso de (-2; x < -2), los valores de x deben ser menores que -2.

b- En el caso de  ( 2 ; x > 2), los valores de x son mayores que 2.

c- En el caso de ( x ; -2 ≤ x ≤ 2), los valores de x deben ser menores o igual a 2 y mayores o igual a  -2. El 2 y el -2 están incluidos.

Podemos establecer como valores a:

Paso #3:

Ahora hagamos la gráfica:

  

Reflexión de graficas

Si tenemos la gráfica de :

¿Como podemos conseguir las siguientes gráficas: 

                                       

Aquí es cuando empleamos la reflexión de gráficas, lo cual simplemente significa hacer la misma gráfica al lado contrario del plano cartesiano.

Veamos un ejemplo para entender:

Para ser continuado...

Desplazamiento Vertical y Orizontal

En la clase de Ayer estuvimos hablando del Desplazamiento Vertical

Y= f(x)+C

Donde se establece que si C>0, la grafica se moverá hacia arriba y si C<0 la gráfica se moverá hacia abajo.

En este ejemplo vemos que la grafica verde se movió 4 lugares de la roja hacia arriba y la violeta 5 hacia abajo ya que la funciones son: f(x)= x²+4, y f(x)= x²-5

En la clase de hoy hablamos del desplazamiento horizontal.

Y=(x+k)

Si k>0, la gráfica se mueve hacia la izquierda y si k<0 la gráfica se mueve hacia la derecha. Si puedes ver, este tipo de movimiento no tiene reglas ya que si es negativo se mueve a los positivos y si es positivo se mueve a los negativos.

Podemos ver en el ejemplo que la grafica violeta f(x)=(x+3)² es positivo y se mueve a 3 lugares a los negativos de la grafica roja y que la grafica verde f(x)=(x-4)² es negativo y se mueve 4 lugares a los negativos. Siempre que haya un + se moverán a la izquierda y siempre que haya un – se moverá a la derecha.